1963 AMC 12 第 30 题

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30.

设
F=log⁡1+x1−x。 F=\log\frac{1+x}{1-x}\text{。}
求新函数 GG:把 xx 在 FF 中的每一次出现都替换为
3x+x31+3x2, \frac{3x+x^3}{1+3x^2}\text{,}
并化简。化简后的 GG 等于:
Let
F=log⁡1+x1−x. F=\log\frac{1+x}{1-x}.
Form a new function GG by replacing each xx in FF by
3x+x31+3x2, \frac{3x+x^3}{1+3x^2},
and simplify. The simplified expression GG is equal to:
−F-F
FF
3F3F
F3F^3
F3−FF^3-F
答案:C
知识点:对数因式分解代数变形
小提示:
把代入的分式记为 uu,并化简 1+u1−u\frac{1+u}{1-u}
Call the substituted fraction uu and simplify 1+u1−u\frac{1+u}{1-u}
大提示:
它的分子和分母都可分解为立方
Its numerator and denominator factor as cubes
解答:
令 u=3x+x31+3x2u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2},则 1+u1−u=1+3x+3x2+x31−3x+3x2−x3=(1+x1−x)3。 \begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x+3x^2+x^3} {1-3x+3x^2-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3 \end{aligned}\text{。}因此 G=log⁡(1+x1−x)3G=\log(\frac{1+x}{1-x})^3,所以 G=3FG=3F。
所以正确答案是 C。
For u=3x+x31+3x2,u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}, 1+u1−u=1+3x+3x2+x31−3x+3x2−x3=(1+x1−x)3. \begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x+3x^2+x^3} {1-3x+3x^2-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned} Therefore G=log⁡(1+x1−x)3,G=\log(\frac{1+x}{1-x})^3, so G=3F.G=3F.
Thus, the correct answer is C.
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