1963 AMC 12 Problema 30

Question

Sea

F=\log\frac{1+x}{1-x}.

Obtén una nueva función

G

reemplazando cada

x

de

F

por

\frac{3x+x^3}{1+3x^2},

y simplifica. La expresión simplificada

G

es igual a:

Let

F=\log\frac{1+x}{1-x}.

Form a new function

G

by replacing each

x

in

F

by

\frac{3x+x^3}{1+3x^2},

and simplify. The simplified expression

G

is equal to:

-F

F

3F

F^3

F^3-F

Llama

u

a la fracción sustituida y simplifica

\frac{1+u}{1-u}

Call the substituted fraction

u

and simplify

\frac{1+u}{1-u}

Su numerador y su denominador se factorizan como cubos

Its numerator and denominator factor as cubes

Para

u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2},

\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x+3x^2+x^3} {1-3x+3x^2-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned}

Por tanto,

G=\log(\frac{1+x}{1-x})^3,

así que

G=3F.

Así, la respuesta correcta es C.

For

u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2},

\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x+3x^2+x^3} {1-3x+3x^2-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned}

Therefore

G=\log(\frac{1+x}{1-x})^3,

so

G=3F.

Thus, the correct answer is C.

El Problema 30 en otros años