1964 AMC 12 第 30 题

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30.

若
(7+43)x2+(2+3)x−2=0, \begin{aligned} (7+4\sqrt3)x^2 &+(2+\sqrt3)x\\ &-2=0 \end{aligned}\text{,}
则较大根减去较小根为:
If
(7+43)x2+(2+3)x−2=0, \begin{aligned} (7+4\sqrt3)x^2 &+(2+\sqrt3)x\\ &-2=0, \end{aligned}
the larger root minus the smaller root is:
−2+33-2+3\sqrt3
2−32-\sqrt3
6+336+3\sqrt3
6−336-3\sqrt3
33+23\sqrt3+2
答案:D
知识点:二次方程根式代数变形
小提示:
注意 7+43=(2+3)27+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2
Notice that 7+43=(2+3)27+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2
大提示:
对 Ax2+Bx+C=0Ax^2+Bx+C=0,两根之差为 B2−4ACA\frac{\sqrt{B^2-4AC}}{A}
For Ax2+Bx+C=0,Ax^2+Bx+C=0, the root difference is B2−4ACA\frac{\sqrt{B^2-4AC}}{A}
解答:
令 A=7+43=(2+3)2A=7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2,且 B=2+3B=2+\sqrt3。判别式为 B2−4A(−2)=A+8A=9A。B^2-4A(-2)=A+8A=9A\text{。}因而两根之差为 9AA=32+3=6−33。\frac{\sqrt{9A}}A=\frac3{2+\sqrt3}=6-3\sqrt3\text{。}
因此,正确答案是 D。
Let A=7+43=(2+3)2A=7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2 and B=2+3.B=2+\sqrt3. The discriminant is B2−4A(−2)=A+8A=9A.B^2-4A(-2)=A+8A=9A. Hence the root difference is 9AA=32+3=6−33.\frac{\sqrt{9A}}A=\frac3{2+\sqrt3}=6-3\sqrt3.
Therefore, the correct answer is D.
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