1966 AMC 12 第 22 题

Question

考虑下列等式：

\text{(I) }\sqrt{a^2+b^2}=0

\text{(II) }\sqrt{a^2+b^2}=ab

\text{(III) }\sqrt{a^2+b^2}=a+b

\text{(IV) }\sqrt{a^2+b^2}=a-b

其中允许

a

与

b

为实数或复数。除

a=0

且

b=0

外仍存在解的等式是：

Consider the statements:

\text{(I) }\sqrt{a^2+b^2}=0

\text{(II) }\sqrt{a^2+b^2}=ab

\text{(III) }\sqrt{a^2+b^2}=a+b

\text{(IV) }\sqrt{a^2+b^2}=a-b

where we allow

a

and

b

to be real or complex numbers. Those statements for which there exist solutions other than

a=0

and

b=0,

are:

(\mathrm{I})

，

(\mathrm{II})

，

(\mathrm{III})

，

(\mathrm{IV})

(\mathrm{I}),

(\mathrm{II}),

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

仅

(\mathrm{II})

，

(\mathrm{III})

，

(\mathrm{IV})

(\mathrm{II}),

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

only

仅

(\mathrm{I})

，

(\mathrm{III})

，

(\mathrm{IV})

(\mathrm{I}),

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

only

仅

(\mathrm{III})

，

(\mathrm{IV})

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

only

仅

(\mathrm{I})

(\mathrm{I})

only

答案：A

知识点：复数反例根式

难度评级：1880

小提示：

对每个等式，找到一个非零解即可

One nonzero example is enough for each statement

大提示：

对

(\mathrm{I})

尝试

b=i

，对

(\mathrm{II})

取两个相等正值，对

(\mathrm{III})

和

(\mathrm{IV})

取

b=0

Try

b=i

for

(\mathrm{I}),

equal positive values for

(\mathrm{II}),

and

b=0

for

(\mathrm{III})

and

(\mathrm{IV})

解答：

每个等式都有非零解。对

(\mathrm{I})

，取

(a,b)=(1,i)

。对

(\mathrm{II})

，取

a=b=\sqrt2

，此时

\sqrt4=2=ab

。对

(\mathrm{III})

和

(\mathrm{IV})

，都取

(a,b)=(1,0)

。因此四个等式都符合要求。

因此，正确答案是 A。

Every statement has a nonzero solution. For

(\mathrm{I}),

use

(a,b)=(1,i).

For

(\mathrm{II}),

use

a=b=\sqrt2,

giving

\sqrt4=2=ab.

For both

(\mathrm{III})

and

(\mathrm{IV}),

use

(a,b)=(1,0).

Thus all four statements qualify.

Therefore, the correct answer is A.

1966 AMC 12 第 22 题

答案：A

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

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