1967 AMC 12 第 5 题

Question

一个三角形外切于半径为

r

英寸的圆。若三角形的周长为

P

英寸，面积为

K

平方英寸，则

\frac{P}{K}

为：

A triangle is circumscribed about a circle of radius

r

inches. If the perimeter of the triangle is

P

inches and the area is

K

square inches, then

\frac{P}{K}

is:

与

r

的值无关

independent of the value of

r

\dfrac{\sqrt2}{r}

\dfrac{2}{\sqrt r}

\dfrac2r

\dfrac r2

将三角形分成三个高为

r

的小三角形

Split the triangle into three smaller triangles with altitude

r

用半周长

\frac{P}{2}

表示

K

Express

K

using the semiperimeter

\frac{P}{2}

连接圆心与三个切点的半径，把三角形分成若干小三角形，它们的总面积为

K=\frac12r(a+b+c)=\frac{Pr}{2}\text{。}

因此

\frac{P}{K}=\frac{2}{r}

。

因此，正确答案是 D。

The three radii to the points of tangency split the triangle into smaller triangles whose total area is

K=\frac12r(a+b+c)=\frac{Pr}{2}.

Hence

\frac{P}{K}=\frac{2}{r}.

Therefore, the correct answer is D.

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