1976 AMC 12 Problema 8

Question

Se elige al azar un punto del plano cuyas dos coordenadas rectangulares son enteros de valor absoluto menor o igual que cuatro; todos esos puntos tienen la misma probabilidad de ser elegidos. ¿Cuál es la probabilidad de que la distancia del punto al origen sea a lo sumo dos unidades?

A point in the plane, both of whose rectangular coordinates are integers with absolute value less than or equal to four, is chosen at random, with all such points having an equal probability of being chosen. What is the probability that the distance from the point to the origin is at most two units?

\frac{13}{81}

\frac{15}{81}

\frac{13}{64}

\frac{\pi}{16}

el cuadrado de un número racional

the square of a rational number

Respuesta: A

Conceptos:punto reticular probabilidad básica círculo enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Hay

9

opciones para cada coordenada

There are

9

choices for each coordinate

Pista grande:

Cuenta los pares enteros que satisfacen

x^2+y^2\le4,

considerando

x=0,

x=\pm1,

y

x=\pm2

Count integer pairs satisfying

x^2+y^2\le4

by considering

x=0,

x=\pm1,

and

x=\pm2

Solución:

Hay

9^2=81

puntos posibles. A distancia no mayor que

2

están el origen; los cuatro puntos

(\pm1,0),

(0,\pm1);

los cuatro puntos

(\pm1,\pm1);

y los cuatro puntos

(\pm2,0),

(0,\pm2).

Por tanto, califican

13

puntos y la probabilidad es

\frac{13}{81}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

There are

9^2=81

possible points. Within distance

2

are the origin; the four points

(\pm1,0),

(0,\pm1);

the four points

(\pm1,\pm1);

and the four points

(\pm2,0),

(0,\pm2).

Thus

13

points qualify, for probability

\frac{13}{81}.

Therefore, the correct answer is A.