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1979 AMC 12 第 22 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

求满足下列方程的整数对

(m,n)

的个数：

\begin{aligned} m^3+6m^2+5m &=27n^3+9n^2\\ &\quad+9n+1 \end{aligned}\text{。}

Find the number of pairs

(m,n)

of integers which satisfy the equation

\begin{aligned} m^3+6m^2+5m &=27n^3+9n^2\\ &\quad+9n+1. \end{aligned}

0

1

3

9

无穷多个

infinitely many

答案：A

知识点：整除性模运算因式分解

难度评级：1860

小提示：

把左边因式分解为

m(m+1)(m+5)

Factor the left side as

m(m+1)(m+5)

大提示：

比较等式两边模

3

的余数

Compare the two sides modulo

3

解答：

左边等于

\begin{gathered} m(m+1)(m+5)\\ =m(m+1)(m+2)\\ \quad+3m(m+1) \end{gathered}\text{，}

对每个整数

m

都能被

3

整除。右边为

3(9n^3+3n^2+3n)+1

，与

1\pmod3

同余。因此不存在满足方程的整数对。

因此，正确答案是 A。

The left side is

\begin{gathered} m(m+1)(m+5)\\ =m(m+1)(m+2)\\ \quad+3m(m+1), \end{gathered}

which is divisible by

3

for every integer

m.

The right side is

3(9n^3+3n^2+3n)+1,

which is congruent to

1\pmod3.

Therefore no integer pair satisfies the equation.

Therefore, the correct answer is A.

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