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1984 AMC 12 第 22 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

设

a

和

c

为固定的正数。对每个实数

t

，设

(x_t,y_t)

为抛物线

y=ax^2+tx+c

的顶点。若将顶点集合

(x_t,y_t)

（其中

t

取所有实数）画在平面上，则所得图形是

Let

a

and

c

be fixed positive numbers. For each real number

t

let

(x_t,y_t)

be the vertex of the parabola

y=ax^2+tx+c.

If the set of vertices

(x_t,y_t)

for all real values of

t

is graphed in the plane, the graph is

一条直线

a straight line

一条抛物线

a parabola

抛物线的一部分，但不是整条抛物线

part, but not all, of a parabola

双曲线的一支

one branch of a hyperbola

以上都不是

none of these

答案：B

知识点：抛物线配方法坐标几何

难度评级：1960

小提示：

用

t

表示顶点坐标

Write the vertex coordinates in terms of

t

大提示：

利用

x_t=-\frac{t}{2a}

将

t

从

y_t

中消去

Use

x_t=-\frac{t}{2a}

to eliminate

t

from

y_t

解答：

顶点坐标为

x_t=-\frac{t}{2a},\qquad y_t=c-\frac{t^2}{4a}\text{。}

由于

t=-2ax_t

，消去

t

得到

y_t=c-ax_t^2

。当

t

遍历所有实数时，

x_t

也遍历所有实数，因此描出了整条抛物线。

所以正确答案是 B。

The vertex coordinates are

x_t=-\frac{t}{2a},\qquad y_t=c-\frac{t^2}{4a}.

Since

t=-2ax_t,

eliminating

t

gives

y_t=c-ax_t^2.

As

t

ranges over all reals, so does

x_t,

so the entire parabola is traced.

Therefore, the correct answer is B.

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