1952 AMC 12 Problema 19

Question

El ángulo

B

del triángulo

ABC

es trisecado por

BD

y

BE,

que cortan a

AC

en

D

y

E,

respectivamente. Entonces:

Angle

B

of triangle

ABC

is trisected by

BD

and

BE,

which meet

AC

at

D

and

E,

respectively. Then:

\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{AE}{DC}

\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{AB}{BC}

\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{BD}{BE}

\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{AB\cdot BD}{BE\cdot BC}

\dfrac{AD}{EC}=\dfrac{AE\cdot BD}{DC\cdot BE}

Respuesta: D

Conceptos:razón de áreas persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Compara las áreas de los triángulos

ABD

y

EBC

de dos maneras distintas

Compare the areas of triangles

ABD

and

EBC

in two different ways

Pista grande:

Sus bases están sobre

AC

, y sus ángulos comprendidos en

B

son ángulos iguales de la trisección

They have bases on

AC

, and their included angles at

B

are equal trisection angles

Solución:

Los triángulos

ABD

y

EBC

tienen bases

AD

y

EC

sobre la misma recta

AC,

por lo que su altura común desde

B

da

\frac{[ABD]}{[EBC]}=\frac{AD}{EC}.

Además,

\angle ABD=\angle EBC

porque ambos son un tercio del ángulo

B.

Al usar dos lados y el ángulo comprendido para la misma razón de áreas se obtiene

\frac{[ABD]}{[EBC]} =\frac{AB\cdot BD}{BE\cdot BC}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Triangles

ABD

and

EBC

have bases

AD

and

EC

on the same line

AC,

so their common altitude from

B

gives

\frac{[ABD]}{[EBC]}=\frac{AD}{EC}.

Also,

\angle ABD=\angle EBC

because both are one-third of angle

B.

Using two sides and the included angle for the same area ratio gives

\frac{[ABD]}{[EBC]} =\frac{AB\cdot BD}{BE\cdot BC}.

Thus, the correct answer is D.