1952 AMC 12 Problema 3

Question

La expresión

a^3-a^{-3}

es igual a:

The expression

a^3-a^{-3}

equals:

\left(a-\dfrac1a\right)\left(a^2+1+\dfrac1{a^2}\right)

\left(\dfrac1a-a\right)\left(a^2-1+\dfrac1{a^2}\right)

\left(a-\dfrac1a\right)\left(a^2-2+\dfrac1{a^2}\right)

\left(\dfrac1a-a\right)\left(\dfrac1{a^2}+1+a^2\right)

Ninguna de las anteriores

None of these

Considera la expresión como una diferencia de dos cubos

View the expression as a difference of two cubes

Usa

u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)

con

v=\frac{1}{a}

Use

u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)

with

v=\frac{1}{a}

Aplicamos la identidad de la diferencia de cubos con

u=a

y

v=\frac{1}{a}.

Como

uv=1,

\begin{aligned} a^3-\frac1{a^3} &=\left(a-\frac1a\right)\\ &\quad{}\cdot\left(a^2+1+\frac1{a^2}\right). \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Apply the difference-of-cubes identity with

u=a

and

v=\frac{1}{a}.

Since

uv=1,

\begin{aligned} a^3-\frac1{a^3} &=\left(a-\frac1a\right)\\ &\quad{}\cdot\left(a^2+1+\frac1{a^2}\right). \end{aligned}

Thus, the correct answer is A.

El Problema 3 en otros años