1966 AMC 12 Problema 3

Question

Si la media aritmética de dos números es

6

y su media geométrica es

10,

entonces una ecuación que tiene esos dos números como raíces es:

If the arithmetic mean of two numbers is

6

and their geometric mean is

10,

then an equation with the given two numbers as roots is:

x^2+12x+100=0

x^2+6x+100=0

x^2-12x-10=0

x^2-12x+100=0

x^2-6x+100=0

Los dos números tienen suma

12

y producto

100

The two numbers have sum

12

and product

100

Las raíces de suma

S

y producto

P

satisfacen

x^2-Sx+P=0

Roots with sum

S

and product

P

satisfy

x^2-Sx+P=0

Si los números son

r,

y

s,

entonces

\frac{r+s}{2}=6

da

r+s=12,

mientras que

\sqrt{rs}=10

da

rs=100.

La ecuación mónica con esas raíces es

x^2-(r+s)x+rs=0,

es decir,

x^2-12x+100=0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If the numbers are

r,

and

s,

then

\frac{r+s}{2}=6

gives

r+s=12,

while

\sqrt{rs}=10

gives

rs=100.

The monic equation with those roots is

x^2-(r+s)x+rs=0,

or

x^2-12x+100=0.

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 3 en otros años