1953 AMC 12 Problema 20

Question

Si

y=x+\dfrac1x,

entonces

x^4+x^3-4x^2+x+1=0

se convierte en:

If

y=x+\dfrac1x,

then

x^4+x^3-4x^2+x+1=0

becomes:

x^2(y^2+y-2)=0

x^2(y^2+y-3)=0

x^2(y^2+y-4)=0

x^2(y^2+y-6)=0

ninguna de las anteriores

none of these

Extrae el factor

x^2

y agrupa los términos recíprocos

Factor out

x^2

and group reciprocal terms

Usa

x^2+x^{-2}=(x+x^{-1})^2-2

Use

x^2+x^{-2}=(x+x^{-1})^2-2

Como

x\ne0,

la expresión se puede factorizar como

\begin{aligned} x^2\Bigg[& \left(x^2+\frac1{x^2}\right)\\ &+\left(x+\frac1x\right)-4 \Bigg]. \end{aligned}

Puesto que

x^2+x^{-2}=y^2-2,

esto se convierte en

x^2(y^2+y-6)=0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because

x\ne0,

factor the expression as

\begin{aligned} x^2\Bigg[& \left(x^2+\frac1{x^2}\right)\\ &+\left(x+\frac1x\right)-4 \Bigg]. \end{aligned}

Since

x^2+x^{-2}=y^2-2,

this becomes

x^2(y^2+y-6)=0.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 20 en otros años