1959 AMC 12 Problema 21

Question

Si

p

es el perímetro de un triángulo equilátero inscrito en un círculo, el área del círculo es:

If

p

is the perimeter of an equilateral triangle inscribed in a circle, the area of the circle is:

\dfrac{\pi p^2}{3}

\dfrac{\pi p^2}{9}

\dfrac{\pi p^2}{27}

\dfrac{\pi p^2}{81}

\dfrac{\pi p^2\sqrt3}{27}

La longitud del lado del triángulo es

\frac{p}{3}

The triangle side length is

\frac{p}{3}

Un triángulo equilátero de lado

s

tiene circunradio

\frac{s}{\sqrt3}

An equilateral triangle with side

s

has circumradius

\frac{s}{\sqrt3}

La longitud del lado es

\frac{p}{3},

así que el circunradio es

R=\frac{\frac{p}{3}}{\sqrt3}=\frac{p}{3\sqrt3}.

Por lo tanto, el área del círculo es

\pi R^2=\frac{\pi p^2}{27}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The side length is

\frac{p}{3},

so the circumradius is

R=\frac{\frac{p}{3}}{\sqrt3}=\frac{p}{3\sqrt3}.

Therefore the circle’s area is

\pi R^2=\frac{\pi p^2}{27}.

Thus, the correct answer is C.

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