1996 AMC 12 Problema 21

Question

Los triángulos

ABC

y

ABD

son isósceles, con

AB=AC=BD,

y

\overline{BD}

corta a

\overline{AC}

en

E.

Si

\overline{BD}\perp\overline{AC},

entonces

\angle C+\angle D

es

Triangles

ABC

and

ABD

are isosceles with

AB=AC=BD,

and

\overline{BD}

intersects

\overline{AC}

at

E.

If

\overline{BD}\perp\overline{AC},

then

\angle C+\angle D

is

115^\circ

120^\circ

130^\circ

135^\circ

no está determinado de manera única

not uniquely determined

Respuesta: D

Conceptos:isosceles triangles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Sea

\angle BAC=\alpha

y expresa

\angle C

usando el triángulo isósceles

ABC

Let

\angle BAC=\alpha

and express

\angle C

using isosceles triangle

ABC

Pista grande:

Usa

BD\perp AC

para hallar el ángulo del vértice

B

del triángulo isósceles

ABD

Use

BD\perp AC

to find the vertex angle at

B

of isosceles triangle

ABD

Solución:

Sea

\angle BAC=\alpha.

Como

AB=AC,

\angle C=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.

Como

BD\perp AC,

el ángulo entre

BA

y

BD

es

90^\circ-\alpha.

En el triángulo isósceles

ABD,

AB=BD,

así que sus dos ángulos de la base son

\begin{aligned} \angle D &=\frac{180^\circ-(90^\circ-\alpha)}2\\ &=45^\circ+\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}

Su suma es

135^\circ,

así que la respuesta correcta es D.

Let

\angle BAC=\alpha.

Since

AB=AC,

\angle C=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.

Because

BD\perp AC,

the angle between

BA

and

BD

is

90^\circ-\alpha.

In isosceles triangle

ABD,

AB=BD,

so its two base angles are

\begin{aligned} \angle D &=\frac{180^\circ-(90^\circ-\alpha)}2\\ &=45^\circ+\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}

Their sum is

135^\circ,

so the correct answer is D.