1978 AMC 12 Problema 21

Question

Para todo número positivo

x

distinto de

1,

\frac1{\log_3x}+\frac1{\log_4x}+\frac1{\log_5x}

es igual a

For all positive numbers

x

distinct from

1,

\frac1{\log_3x}+\frac1{\log_4x}+\frac1{\log_5x}

equals

\frac1{\log_{60}x}

\frac1{\log_x60}

\frac1{(\log_3x)(\log_4x)(\log_5x)}

\frac{12}{(\log_3x)+(\log_4x)+(\log_5x)}

\frac{\log_2x}{(\log_3x)(\log_5x)}

{}+\frac{\log_3x}{(\log_2x)(\log_5x)}

{}+\frac{\log_5x}{(\log_2x)(\log_3x)}

Usa la identidad recíproca

\frac{1}{\log_bx}=\log_xb

Use the reciprocal identity

\frac{1}{\log_bx}=\log_xb

Combina la suma resultante con la regla del producto de los logaritmos

Combine the resulting sum with the product rule for logarithms

Sea

S

la suma dada. Al cambiar de base y combinar logaritmos se obtiene

\begin{aligned} S&=\frac1{\log_3x}+\frac1{\log_4x}\\ &\quad+\frac1{\log_5x}\\ &=\log_x(3\cdot4\cdot5)\\ &=\log_x60\\ &=\frac1{\log_{60}x}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

S

denote the given sum. Changing bases and combining logarithms gives

\begin{aligned} S&=\frac1{\log_3x}+\frac1{\log_4x}\\ &\quad+\frac1{\log_5x}\\ &=\log_x(3\cdot4\cdot5)\\ &=\log_x60\\ &=\frac1{\log_{60}x}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 21 en otros años