1964 AMC 12 Problema 22

Question

Se da el paralelogramo

ABCD

con

E

como punto medio de la diagonal

BD.

Se conecta

E

con un punto

F

de

DA

de modo que

DF=\frac13DA.

¿Cuál es la razón entre el área del triángulo

DFE

y la del cuadrilátero

ABEF

?

Given parallelogram

ABCD

with

E

the midpoint of diagonal

BD.

Point

E

is connected to a point

F

in

DA

so that

DF=\frac13DA.

What is the ratio of the area of triangle

DFE

to the area of quadrilateral

ABEF?

1:2

1:3

1:5

1:6

1:7

Respuesta: C

Conceptos:paralelogramo razón de áreas punto medio área del triángulo

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Usa vectores

A=0,

B=u,

y

D=v

Use vectors

A=0,

B=u,

and

D=v

Pista grande:

Entonces

E=\frac{u+v}{2}

y

F=\frac{2v}{3}

; calcula ambas áreas como fracciones del paralelogramo

Then

E=\frac{u+v}{2}

and

F=\frac{2v}{3}

; compute both areas as fractions of the parallelogram

Solución:

Sea el área del paralelogramo

S=|u\times v|,

con

A=0,

B=u,

y

D=v.

Entonces

E=\frac{u+v}{2}

y

F=\frac{2v}{3}.

Los determinantes dan

[DFE]=\frac{S}{12}.

Para el cuadrilátero

ABEF,

las dos contribuciones dan

[ABEF]=\frac S4+\frac S6=\frac{5S}{12}.

La razón pedida es

1:5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the parallelogram’s area be

S=|u\times v|,

with

A=0,

B=u,

and

D=v.

Then

E=\frac{u+v}{2}

and

F=\frac{2v}{3}.

Determinants give

[DFE]=\frac{S}{12}.

For quadrilateral

ABEF,

the two determinant contributions give

[ABEF]=\frac S4+\frac S6=\frac{5S}{12}.

The desired ratio is

1:5.

Therefore, the correct answer is C.