1967 AMC 12 Problema 29

Question

AB

es un diámetro de un círculo. Se trazan las tangentes

AD

y

BC

de modo que

AC

y

BD

se corten en un punto del círculo. Si

AD=a

y

BC=b,

a\ne b,

el diámetro del círculo es:

AB

is a diameter of a circle. Tangents

AD

and

BC

are drawn so that

AC

and

BD

intersect in a point on the circle. If

AD=a

and

BC=b,

a\ne b,

the diameter of the circle is:

\lvert a-b\rvert

\dfrac12(a+b)

\sqrt{ab}

\dfrac{ab}{a+b}

\dfrac12\cdot\dfrac{ab}{a+b}

Respuesta: C

Conceptos:círculo recta tangente semejanza ángulo inscrito

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Sea

P

el punto de intersección sobre el círculo; entonces

\angle APB=90^\circ

Let the intersection point on the circle be

P

; then

\angle APB=90^\circ

Pista grande:

Usa las tangentes paralelas para comparar los triángulos rectángulos

ADB

y

BCA

Use the parallel tangents to compare right triangles

ADB

and

BCA

Solución:

Sea

d=AB

el diámetro. Como la intersección de

AC

y

BD

está sobre el círculo, esas dos rectas son perpendiculares por el teorema de Tales. Además, las tangentes

AD

y

BC

son paralelas. Los triángulos rectángulos resultantes

ADB

y

BCA

son semejantes, por lo que

\frac da=\frac bd.

De aquí,

d^2=ab

y

d=\sqrt{ab}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

d=AB

be the diameter. Since the intersection of

AC

and

BD

lies on the circle, those two lines are perpendicular by Thales’ theorem. Also the tangents

AD

and

BC

are parallel. The resulting right triangles

ADB

and

BCA

are similar, so

\frac da=\frac bd.

Hence

d^2=ab

and

d=\sqrt{ab}.

Therefore, the correct answer is C.