1967 AMC 12 Problema 15

Question

La diferencia entre las áreas de dos triángulos semejantes es

18

pies cuadrados, y la razón del área mayor a la menor es el cuadrado de un entero. El área del triángulo menor, en pies cuadrados, es un entero, y uno de sus lados mide

3

pies. El lado correspondiente del triángulo mayor, en pies, mide:

The difference in the areas of two similar triangles is

18

square feet, and the ratio of the larger area to the smaller is the square of an integer. The area of the smaller triangle, in square feet, is an integer, and one of its sides is

3

feet. The corresponding side of the larger triangle, in feet, is:

12

9

6\sqrt2

6

3\sqrt2

Respuesta: D

Conceptos:semejanza razón de áreas divisibilidad

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Sea

k

el factor entero de escala de los lados

Let the integer side-scale factor be

k

Pista grande:

Si el área menor es

T,

entonces

T(k^2-1)=18

If the smaller area is

T,

then

T(k^2-1)=18

Solución:

Sea el factor de escala de los lados el entero

k\gt1

y el área menor el entero

T.

Entonces

T(k^2-1)=18.

Así,

k^2-1

es un divisor positivo de

18.

El único cuadrado

k^2

resultante es

4,

por lo que

k=2.

El lado correspondiente mide

3k=6.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the side-scale factor be the integer

k\gt1

and the smaller area be the integer

T.

Then

T(k^2-1)=18.

Thus

k^2-1

is a positive divisor of

18.

The only resulting square

k^2

is

4,

so

k=2.

The corresponding side is

3k=6.

Therefore, the correct answer is D.