1968 AMC 12 Problema 15

Question

Sea

P

el producto de tres enteros positivos impares consecutivos cualesquiera. El mayor entero que divide a todos esos valores de

P

es:

Let

P

be the product of any three consecutive positive odd integers. The largest integer dividing all such

P

is:

15

6

5

3

1

Examina los residuos módulo

3

de tres enteros impares consecutivos

Among three consecutive odd integers, inspect residues modulo

3

Usa dos ejemplos para descartar cualquier divisor común mayor

Use two examples to rule out every larger common divisor

Tres enteros impares consecutivos ocupan tres residuos consecutivos módulo

3,

de modo que uno es divisible entre

3.

Por tanto, todo producto es divisible entre

3.

Los productos

1\cdot3\cdot5=15

y

7\cdot9\cdot11=693

tienen máximo común divisor

3,

así que ningún entero mayor divide siempre al producto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Three consecutive odd integers occupy three consecutive residues modulo

3,

so one is divisible by

3.

Thus every product is divisible by

3.

The products

1\cdot3\cdot5=15

and

7\cdot9\cdot11=693

have greatest common divisor

3,

so no larger integer always divides the product.

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 15 en otros años