1997 AMC 12 Problema 15

Question

Las medianas

\overline{BD}

y

\overline{CE}

del triángulo

ABC

son perpendiculares,

BD=8,

y

CE=12.

El área del triángulo

ABC

es

Medians

\overline{BD}

and

\overline{CE}

of triangle

ABC

are perpendicular,

BD=8,

and

CE=12.

The area of triangle

ABC

is

24

32

48

64

96

Respuesta: D

Conceptos:medians perpendicular diagonals área

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Considera

BD

y

CE

como las diagonales del cuadrilátero

BCDE

View

BD

and

CE

as the diagonals of quadrilateral

BCDE

Pista grande:

El triángulo

ADE

es semejante a

ABC

con razón de semejanza

\frac{1}{2}

Triangle

ADE

is similar to

ABC

with scale factor

\frac{1}{2}

Solución:

El cuadrilátero

BCDE

tiene diagonales perpendiculares

BD=8

y

CE=12,

por lo que su área es

\frac12(8)(12)=48.

Como

D,E

son puntos medios, el triángulo

ADE

tiene la cuarta parte del área de

ABC,

de modo que

BCDE

tiene las tres cuartas partes. Por lo tanto,

[ABC]=\frac{48\cdot4}{3}=64,

así que D es la respuesta correcta.

Quadrilateral

BCDE

has perpendicular diagonals

BD=8

and

CE=12,

so its area is

\frac12(8)(12)=48.

Since

D,E

are midpoints, triangle

ADE

has one fourth the area of

ABC,

making

BCDE

three fourths of it. Thus

[ABC]=\frac{48\cdot4}{3}=64,

so D is correct.