1973 AMC 12 Problema 15

Question

Se recorta de un círculo de radio

6

un sector cuyo ángulo central agudo es

\theta.

El radio del círculo circunscrito al sector es

A sector with acute central angle

\theta

is cut from a circle of radius

6.

The radius of the circle circumscribed about the sector is

3\cos\theta

3\sec\theta

3\cos\frac12\theta

3\sec\frac12\theta

3

Considera los dos radios y la cuerda del sector como un triángulo isósceles

Treat the sector’s two radii and chord as an isosceles triangle

Expresa la cuerda usando

\frac{\theta}{2},

y luego aplica la ley de senos extendida

Express the chord using

\frac{\theta}{2},

then apply the extended sine rule

Los dos radios y la cuerda del sector forman un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden

6

y cuyo ángulo del vértice es

\theta.

Su base mide

12\sin(\frac{\theta}{2}).

Si

R

es el circunradio del triángulo, la ley de senos extendida da

2R=\frac{12\sin(\frac{\theta}{2})}{\sin\theta}.

Como

\sin\theta=2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2}),

R=3\sec\frac{\theta}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The two radii and the sector’s chord form an isosceles triangle with equal sides

6

and vertex angle

\theta.

Its base has length

12\sin(\frac{\theta}{2}).

If

R

is the triangle’s circumradius, the extended sine rule gives

2R=\frac{12\sin(\frac{\theta}{2})}{\sin\theta}.

Since

\sin\theta=2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2}),

R=3\sec\frac{\theta}{2}.

Therefore, the correct answer is D.

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