1992 AMC 12 Problema 15

Question

Sea

i=\sqrt{-1}.

Para

n\ge1,

se define una sucesión de números complejos mediante

\begin{aligned} z_1&=0,\\ z_{n+1}&=z_n^2+i. \end{aligned}

En el plano complejo, ¿a qué distancia del origen está

z_{111}

?

Let

i=\sqrt{-1}.

For

n\ge1,

define a sequence of complex numbers by

\begin{aligned} z_1&=0,\\ z_{n+1}&=z_n^2+i. \end{aligned}

In the complex plane, how far from the origin is

z_{111}?

1

\sqrt2

\sqrt3

\sqrt{110}

\sqrt{2^{55}}

Calcula los primeros términos en lugar de intentar desarrollar

z_{111}

Compute the first few terms rather than trying to expand

z_{111}

Busca un ciclo que comience con

z_3

Look for a cycle beginning with

z_3

Los primeros términos son

\begin{aligned} z_1&=0,\quad z_2=i,\quad z_3=-1+i,\\ z_4&=-i,\quad z_5=-1+i. \end{aligned}

Por tanto, desde

z_3

la sucesión alterna entre

-1+i

en los índices impares y

-i

en los índices pares. Así,

z_{111}=-1+i,

cuya distancia al origen es

\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first terms are

\begin{aligned} z_1&=0,\quad z_2=i,\quad z_3=-1+i,\\ z_4&=-i,\quad z_5=-1+i. \end{aligned}

Hence the sequence alternates between

-1+i

at odd indices and

-i

at even indices from

z_3

onward. Therefore

z_{111}=-1+i,

whose distance from the origin is

\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2.

Thus the correct answer is B.

El Problema 15 en otros años