1951 AMC 12 Problema 15

Question

El mayor número por el cual es divisible la expresión

n^3-n

para todo valor entero posible de

n

es:

The largest number by which the expression

n^3-n

is divisible for all possible integral values of

n

is:

2

3

4

5

6

Factoriza

n^3-n

Factor

n^3-n

Los factores

n-1,n,n+1

son tres enteros consecutivos

The factors

n-1,n,n+1

are three consecutive integers

Tenemos

n^3-n=n(n-1)(n+1),

un producto de tres enteros consecutivos. Uno es divisible por

3

y al menos uno es par, por lo que el producto siempre es divisible por

6.

Al tomar

n=2

, se obtiene exactamente

6,

así que ningún entero mayor lo divide siempre.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

We have

n^3-n=n(n-1)(n+1),

a product of three consecutive integers. One is divisible by

3

and at least one is even, so the product is always divisible by

6.

Taking

n=2

gives exactly

6,

so no larger integer always divides it.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 15 en otros años