1995 AMC 12 Problema 29

Question

¿Para cuántos conjuntos de tres enteros positivos

\{a,b,c\}

se cumple que

a\cdot b\cdot c=2310

?

For how many three-element sets of positive integers

\{a,b,c\}

is it true that

a\cdot b\cdot c=2310?

32

36

40

43

45

Factoriza

2310

en primos distintos y asigna cada primo a uno de los factores

Factor

2310

into distinct primes and assign each prime to one of the factors

Cuenta por separado los casos en que un factor es

1

y aquellos en que los tres factores son mayores que

1

Count separately the cases in which one factor is

1

and in which all three factors exceed

1

Como

2310=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11,

cada primo pertenece exactamente a uno de los tres factores. Si todos los factores son mayores que

1,

sus grupos no ordenados de primos forman una partición de cinco objetos en tres bloques no vacíos, contada por

S(5,3)=\frac{3^5-3\cdot2^5+3}{6}=25.

Si un factor es

1,

los primos se dividen en dos bloques no vacíos, lo que da

S(5,2)=2^4-1=15.

Los factores son distintos porque sus conjuntos disjuntos de primos son diferentes. Por tanto, el total es

25+15=40,

y la respuesta correcta es C.

Since

2310=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11,

each prime belongs to exactly one of the three factors. If all factors exceed

1,

their unordered prime groups form a partition of five objects into three nonempty blocks, counted by

S(5,3)=\frac{3^5-3\cdot2^5+3}{6}=25.

If one factor is

1,

the primes are partitioned into two nonempty blocks, giving

S(5,2)=2^4-1=15.

The factors are distinct because their disjoint prime sets differ. Thus the total is

25+15=40,

and the correct answer is C.

El Problema 29 en otros años