1975 AMC 12 Problema 29

Question

¿Cuál es el menor entero mayor que

(\sqrt3+\sqrt2)^6

?

What is the smallest integer larger than

(\sqrt3+\sqrt2)^6?

972

971

970

969

968

Empareja la expresión con su conjugada

(\sqrt3-\sqrt2)^6

Pair the expression with its conjugate

(\sqrt3-\sqrt2)^6

Su suma es un entero, mientras que el término conjugado está estrictamente entre

0

y

1

Their sum is an integer, while the conjugate term lies strictly between

0

and

1

Sean

\alpha=\sqrt3+\sqrt2

y

\beta=\sqrt3-\sqrt2.

Al sumar sus sextas potencias se cancelan todos los términos radicales impares:

\begin{aligned} \alpha^6+\beta^6 &=2\bigl(3^3+15(3^2)(2)\\ &\qquad+15(3)(2^2)+2^3\bigr)\\ &=970. \end{aligned}

Como

0\lt\beta\lt1,

tenemos

969\lt\alpha^6=970-\beta^6\lt970.

Por tanto, el menor entero mayor es

970.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

\alpha=\sqrt3+\sqrt2

and

\beta=\sqrt3-\sqrt2.

Adding their sixth powers cancels all odd radical terms:

\begin{aligned} \alpha^6+\beta^6 &=2\bigl(3^3+15(3^2)(2)\\ &\qquad+15(3)(2^2)+2^3\bigr)\\ &=970. \end{aligned}

Since

0\lt\beta\lt1,

we have

969\lt\alpha^6=970-\beta^6\lt970.

Thus the smallest larger integer is

970.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 29 en otros años