1984 AMC 12 Problema 29

Question

Halla el mayor valor de

\frac{y}{x}

entre los pares de números reales

(x,y)

que satisfacen

(x-3)^2+(y-3)^2=6.

Find the largest value of

\frac{y}{x}

for pairs of real numbers

(x,y)

which satisfy

(x-3)^2+(y-3)^2=6.

3+2\sqrt2

2+\sqrt3

3\sqrt3

6

6+2\sqrt3

Respuesta: A

Conceptos:círculo pendiente recta tangente optimización

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Interpreta

\frac{y}{x}

como la pendiente de una recta que pasa por el origen

Interpret

\frac{y}{x}

as the slope of a line through the origin

Pista grande:

En una pendiente extrema, la recta

y=mx

es tangente al círculo

At an extreme slope, the line

y=mx

is tangent to the circle

Solución:

El círculo está completamente en la región donde

x\gt0,

así que

\frac{y}{x}

es la pendiente

m

de la recta

y=mx

que pasa por uno de sus puntos. En un extremo, esta recta es tangente. La distancia del centro

(3,3)

a

mx-y=0

debe ser

\sqrt6,

de modo que

\frac{|3m-3|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt6.

Al elevar al cuadrado y simplificar se obtiene

m^2-6m+1=0,

por lo que

m=3\pm2\sqrt2.

El valor mayor es

3+2\sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The circle lies entirely where

x\gt0,

so

\frac{y}{x}

is the slope

m

of the line

y=mx

through a point on it. At an extreme, this line is tangent. The distance from the center

(3,3)

to

mx-y=0

must equal

\sqrt6,

so

\frac{|3m-3|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt6.

Squaring and simplifying gives

m^2-6m+1=0,

hence

m=3\pm2\sqrt2.

The larger value is

3+2\sqrt2.

Therefore, the correct answer is A.