1952 AMC 12 Problema 29

Question

En un círculo de radio

5

unidades,

CD

y

AB

son diámetros perpendiculares. Una cuerda

CH

que corta a

AB

en

K

mide

8

unidades. El diámetro

AB

queda dividido en dos segmentos cuyas longitudes son:

In a circle of radius

5

units,

CD

and

AB

are perpendicular diameters. A chord

CH

cutting

AB

at

K

is

8

units long. The diameter

AB

is divided into two segments whose dimensions are:

1.25,

8.75

2.75,

7.25

2,

8

4,

6

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: A

Conceptos:círculo cuerda geometría analítica

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Coloca el centro en el origen, toma

C=(0,5)

y representa con coordenadas el otro extremo

H

de la cuerda

Put the center at the origin, take

C=(0,5)

, and represent the other endpoint

H

of the chord by coordinates

Pista grande:

Usa

CH=8

y

OH=5

, y luego halla dónde la recta

CH

cruza el diámetro horizontal

Use

CH=8

and

OH=5

, then find where line

CH

crosses the horizontal diameter

Solución:

Colocamos el círculo en el origen con

C=(0,5)

y sea

H=(x,y).

Las ecuaciones

\begin{aligned} x^2+y^2&=25,\\ x^2+(y-5)^2&=64 \end{aligned}

dan

y=-\frac{7}{5}

y

x=\pm\frac{24}{5}.

Tomar

x=\frac{24}{5}

no cambia las longitudes de los segmentos.

La recta de

C=(0,5)

a

H=(\frac{24}{5},-\frac{7}{5})

cruza

y=0

en

x=\frac{15}{4}.

Por lo tanto, sus distancias a los extremos

(-5,0)

y

(5,0)

del diámetro

AB

son

\begin{aligned} 5+\frac{15}{4}&=\frac{35}{4}=8.75,\\ 5-\frac{15}{4}&=\frac54=1.25. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Put the circle at the origin with

C=(0,5)

and let

H=(x,y).

The equations

\begin{aligned} x^2+y^2&=25,\\ x^2+(y-5)^2&=64 \end{aligned}

give

y=-\frac{7}{5}

and

x=\pm\frac{24}{5}.

Taking

x=\frac{24}{5}

does not change the segment lengths.

The line from

C=(0,5)

to

H=(\frac{24}{5},-\frac{7}{5})

crosses

y=0

at

x=\frac{15}{4}.

Its distances to the endpoints

(-5,0)

and

(5,0)

of diameter

AB

are therefore

\begin{aligned} 5+\frac{15}{4}&=\frac{35}{4}=8.75,\\ 5-\frac{15}{4}&=\frac54=1.25. \end{aligned}

Thus, the correct answer is A.