1986 AMC 12 Problema 29

Question

Dos de las alturas del triángulo escaleno

ABC

miden

4

y

12.

Si la longitud de la tercera altura también es un entero, ¿cuál es su mayor valor posible?

Two of the altitudes of the scalene triangle

ABC

have length

4

and

12.

If the length of the third altitude is also an integer, what is the biggest it can be?

4

5

6

7

ninguna de estas

none of these

Para un área fija del triángulo, cada lado es inversamente proporcional a su altura correspondiente

For a fixed triangle area, each side is inversely proportional to its corresponding altitude

Aplica las desigualdades del triángulo a longitudes de lado proporcionales a

\frac{1}{4},\frac{1}{12},\frac{1}{h}

Apply the triangle inequalities to side lengths proportional to

\frac{1}{4},\frac{1}{12},\frac{1}{h}

Sea

h

la tercera altura. Como cada lado es igual al doble del área común dividido entre su altura, las longitudes de los lados son proporcionales a

\frac14,\qquad\frac1{12},\qquad\frac1h.

Las dos desigualdades no triviales del triángulo dan

\begin{aligned} \frac1h&\lt\frac14+\frac1{12}=\frac13,\\ \frac1h&\gt\frac14-\frac1{12}=\frac16. \end{aligned}

Por tanto,

3\lt h\lt6.

La mayor posibilidad entera es

5,

y sus tres alturas son distintas, como se requiere para un triángulo escaleno.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Let the third altitude be

h.

Since each side equals twice the common area divided by its altitude, the side lengths are proportional to

\frac14,\qquad\frac1{12},\qquad\frac1h.

The two nontrivial triangle inequalities give

\begin{aligned} \frac1h&\lt\frac14+\frac1{12}=\frac13,\\ \frac1h&\gt\frac14-\frac1{12}=\frac16. \end{aligned}

Thus

3\lt h\lt6.

The largest integral possibility is

5,

and its three altitudes are distinct as required for a scalene triangle.

Therefore the correct answer is B.

El Problema 29 en otros años