1971 AMC 12 Problema 25

Question

Un adolescente escribió su edad después de la de su padre. De este nuevo número de cuatro cifras restó el valor absoluto de la diferencia entre sus edades y obtuvo

4{,}289.

La suma de sus edades era:

A teenage boy wrote his own age after his father’s. From this new four-place number, he subtracted the absolute value of the difference of their ages to get

4{,}289.

The sum of their ages was:

48

52

56

59

64

Respuesta: D

Conceptos:edades dígitos Ecuación diofántica aritmética modular

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Sea

f

la edad del padre y

b

la del muchacho

Let the father’s age be

f

and the boy’s age be

b

Pista grande:

El número concatenado es

100f+b

, así que usa

99f+2b=4289

The concatenated number is

100f+b

, so use

99f+2b=4289

Solución:

Sean

f

y

b

las edades del padre y del muchacho. Como

f\gt b,

\begin{aligned} 100f+b-(f-b)&=4289,\\ 99f+2b&=4289. \end{aligned}

El muchacho es adolescente, así que

13\le b\le19.

Al reducir módulo

9

, se obtiene

2b\equiv5\pmod9,

de donde

b=16.

Entonces

f=\frac{4289-32}{99}=43,

y

f+b=59.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the father and boy be

f

and

b

years old. Since

f\gt b,

\begin{aligned} 100f+b-(f-b)&=4289,\\ 99f+2b&=4289. \end{aligned}

The boy is a teenager, so

13\le b\le19.

Reducing modulo

9

gives

2b\equiv5\pmod9,

hence

b=16.

Then

f=\frac{4289-32}{99}=43,

and

f+b=59.

Therefore, the correct answer is D.