1972 AMC 12 Problema 17

Question

Se corta un cordel en dos por un punto elegido al azar. La probabilidad de que el trozo más largo sea al menos

x

veces el más corto es:

A piece of string is cut in two at a point selected at random. The probability that the longer piece is at least

x

times as large as the shorter piece is:

\dfrac12

\dfrac2x

\dfrac1{x+1}

\dfrac1x

\dfrac2{x+1}

Normaliza la longitud del cordel a

1

y sitúa el corte a

t

unidades de un extremo

Normalize the string length to

1

and let the cut be

t

units from one end

Cerca de cualquiera de los extremos, resuelve

1-t\ge xt

Near either endpoint, solve

1-t\ge xt

Toma el cordel de longitud

1.

Cerca de un extremo, la condición es

1-t\ge xt,

por lo que

t\le\frac{1}{x+1}.

En el otro extremo aparece un intervalo igual. La longitud total de ambos, y por tanto la probabilidad, es

\frac2{x+1}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Take the string to have length

1.

Near one endpoint, the condition is

1-t\ge xt,

so

t\le\frac{1}{x+1}.

The same interval occurs at the other endpoint. Their total length, hence the probability, is

\frac2{x+1}.

Therefore, the correct answer is E.

El Problema 17 en otros años