1972 AMC 12 Problema 16

Question

Se pueden insertar dos números positivos entre

3

y

9

de modo que los tres primeros estén en progresión geométrica y los tres últimos en progresión aritmética. La suma de esos dos números positivos es:

There are two positive numbers that may be inserted between

3

and

9

such that the first three are in geometric progression while the last three are in arithmetic progression. The sum of those two positive numbers is:

13\frac12

11\frac14

10\frac12

10

9\frac12

Llama

x

y

y

a los números insertados, en ese orden

Call the inserted numbers

x

and

y,

in that order

Usa

x^2=3y

y

2y=x+9

Use

x^2=3y

and

2y=x+9

Las condiciones de las progresiones dan

x^2=3y

y

2y=x+9.

Al eliminar

y

se obtiene

\begin{aligned} 2x^2-3x-27&=(2x-9)(x+3)\\ &=0. \end{aligned}

La positividad da

x=\frac{9}{2},

y luego

y=\frac{27}{4}.

Su suma es

\frac92+\frac{27}{4}=\frac{45}{4}=11\frac14.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The progression conditions give

x^2=3y

and

2y=x+9.

Eliminating

y

yields

\begin{aligned} 2x^2-3x-27&=(2x-9)(x+3)\\ &=0. \end{aligned}

Positivity gives

x=\frac{9}{2},

and then

y=\frac{27}{4}.

Their sum is

\frac92+\frac{27}{4}=\frac{45}{4}=11\frac14.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 16 en otros años