1975 AMC 12 Problema 3

Question

¿Cuáles de las siguientes desigualdades se cumplen para todos los números reales

a,

b,

c,

x,

y,

z

que satisfacen

x\lt a,

y\lt b,

y

z\lt c

?

I.

xy+yz+zx\lt ab+bc+ca

II.

x^2+y^2+z^2\lt a^2+b^2+c^2

III.

xyz\lt abc

Which of the following inequalities are satisfied for all real numbers

a,

b,

c,

x,

y,

z

which satisfy

x\lt a,

y\lt b,

and

z\lt c?

I.

xy+yz+zx\lt ab+bc+ca

II.

x^2+y^2+z^2\lt a^2+b^2+c^2

III.

xyz\lt abc

No se cumple ninguna.

None are satisfied.

Solo

\mathrm{I}

\mathrm{I}

only

Solo

\mathrm{II}

\mathrm{II}

only

Solo

\mathrm{III}

\mathrm{III}

only

Se cumplen todas.

All are satisfied.

Respuesta: A

Conceptos:desigualdad contraejemplo

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Las variables son reales, por lo que aumentar un número no necesariamente aumenta su cuadrado ni sus productos

The variables are real, so increasing a number need not increase its square or its products

Pista grande:

Prueba

a=b=1,\ c=-1,

y

x=y=0,\ z=-10

Try

a=b=1,\ c=-1,

x=y=0,\ z=-10

Solución:

Toma

a=b=1,\ c=-1,

y

x=y=0,\ z=-10.

Se cumplen las tres desigualdades requeridas entre las variables. Sin embargo, I se convierte en

0\lt-1,

II en

100\lt3,

y III en

0\lt-1,

todas falsas. Por tanto, ninguna es verdadera en todos los casos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Take

a=b=1,\ c=-1,

and

x=y=0,\ z=-10.

The required three coordinate inequalities hold. But I becomes

0\lt-1,

II becomes

100\lt3,

and III becomes

0\lt-1,

all false. Thus none is universally true.

Therefore, the correct answer is A.

1975 AMC 12 Problema 3

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años