1975 AMC 12 Problema 2

Question

¿Para qué valores reales de

m

el sistema de ecuaciones

\begin{aligned} y&=mx+3,\\ y&=(2m-1)x+4 \end{aligned}

tiene al menos una solución real

(x,y)

?

For which real values of

m

are the simultaneous equations

\begin{aligned} y&=mx+3,\\ y&=(2m-1)x+4 \end{aligned}

satisfied by at least one pair of real numbers

(x,y)?

todos los

m

all

m

todos los

m\ne0

all

m\ne0

todos los

m\ne\frac12

all

m\ne\frac12

todos los

m\ne1

all

m\ne1

ningún valor de

m

no values of

m

Respuesta: D

Conceptos:ecuación lineal sistema de ecuaciones pendiente

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Dos rectas no verticales no se cortan solo cuando son paralelas y distintas

Two nonvertical lines fail to meet only when they are parallel and distinct

Pista grande:

Iguala las pendientes

m

y

2m-1

Set the slopes

m

and

2m-1

equal

Solución:

Las rectas no se cortan únicamente si

m=2m-1,

lo que da

m=1.

Sus intersecciones con el eje

y

son

3

y

4,

así que para ese valor son rectas paralelas distintas. Cualquier otro

m

produce una intersección.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The lines fail to intersect only if

m=2m-1,

which gives

m=1.

Their

y

-intercepts are

3

and

4,

so at that value they are distinct parallel lines. Every other

m

gives one intersection.

Therefore, the correct answer is D.

1975 AMC 12 Problema 2

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años