1975 AMC 12 Problema 7

Question

¿Para qué números reales no nulos

x

es

\frac{|x-|x||}{x}

un entero positivo?

For which nonzero real numbers

x

is

\frac{|x-|x||}{x}

a positive integer?

solo para

x

negativo

for negative

x

only

solo para

x

positivo

for positive

x

only

solo cuando

x

es un entero par

only for

x

an even integer

para todos los números reales no nulos

x

for all nonzero real numbers

x

para ningún número real no nulo

x

for no nonzero real numbers

x

Respuesta: E

Conceptos:valor absoluto análisis por casos

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Evalúa el cociente por separado para

x\gt0

y

x\lt0

Evaluate the quotient separately for

x\gt0

and

x\lt0

Pista grande:

Para

x\lt0,

sustituye

|x|

por

-x

antes de evaluar el valor absoluto exterior

For

x\lt0,

replace

|x|

by

-x

before evaluating the outer absolute value

Solución:

Si

x\gt0,

el cociente es

0.

Si

x\lt0,

entonces

x-|x|=2x\lt0,

por lo que

|x-|x||=-2x

y el cociente es

-2.

Ninguno de los dos valores es un entero positivo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If

x\gt0,

the quotient is

0.

If

x\lt0,

then

x-|x|=2x\lt0,

so

|x-|x||=-2x

and the quotient is

-2.

Neither value is a positive integer.

Therefore, the correct answer is E.