1976 AMC 12 Problema 3

Question

La suma de las distancias desde un vértice de un cuadrado de lado dos hasta los puntos medios de cada uno de sus lados es

The sum of the distances from one vertex of a square with sides of length two to the midpoints of each of the sides of the square is

2\sqrt5

2+\sqrt3

2+2\sqrt3

2+\sqrt5

2+2\sqrt5

Coloca el vértice elegido en

(0,0)

y los demás vértices del cuadrado en

(2,0),

(2,2),

y

(0,2)

Place the chosen vertex at

(0,0)

and the other vertices at

(2,0),

(2,2),

and

(0,2)

Dos puntos medios están a una unidad, mientras que cada punto medio del lado opuesto forma catetos

2

y

1

Two midpoints are one unit away, while each opposite-side midpoint forms legs

2

and

1

Los dos puntos medios de los lados que concurren en el vértice elegido están a distancia

1.

Para los otros dos puntos medios, las diferencias de coordenadas son

2

y

1,

así que cada distancia es

\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5.

La suma es

2+2\sqrt5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two midpoints on sides meeting the chosen vertex are each at distance

1.

The other two midpoints have coordinate differences

2

and

1,

so each is at distance

\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5.

The sum is

2+2\sqrt5.

Therefore, the correct answer is E.

El Problema 3 en otros años