1978 AMC 12 Problema 17

Question

Si

k

es un número positivo y

f

es una función tal que, para todo número positivo

x,

\left[f(x^2+1)\right]^{\sqrt x}=k,

entonces, para todo número positivo

y,

\left[f\left(\frac{9+y^2}{y^2}\right)\right]^{\sqrt{\frac{12}{y}}}

es igual a

If

k

is a positive number and

f

is a function such that, for every positive number

x,

\left[f(x^2+1)\right]^{\sqrt x}=k,

then, for every positive number

y,

\left[f\left(\frac{9+y^2}{y^2}\right)\right]^{\sqrt{\frac{12}{y}}}

is equal to

\sqrt k

2k

k\sqrt k

k^2

y\sqrt k

Elige

x

de modo que

x^2+1=\frac{9+y^2}{y^2}

Choose

x

so that

x^2+1=\frac{9+y^2}{y^2}

Después de hacer la sustitución, compara

\sqrt{\frac{12}{y}}

con

\sqrt x

Compare

\sqrt{\frac{12}{y}}

with

\sqrt x

after making the substitution

Sea

x=\frac{3}{y},

que es positivo. Entonces

\begin{aligned} x^2+1&=\frac{9+y^2}{y^2},\\ \sqrt{\frac{12}{y}}&=2\sqrt x. \end{aligned}

Por lo tanto, la expresión pedida es

\left(\left[f(x^2+1)\right]^{\sqrt x}\right)^2=k^2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Set

x=\frac{3}{y},

which is positive. Then

\begin{aligned} x^2+1&=\frac{9+y^2}{y^2},\\ \sqrt{\frac{12}{y}}&=2\sqrt x. \end{aligned}

Therefore the requested expression is

\left(\left[f(x^2+1)\right]^{\sqrt x}\right)^2=k^2.

Therefore, the correct answer is D.

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