1978 AMC 12 Problema 18

Question

¿Cuál es el menor entero positivo

n

tal que

\sqrt n-\sqrt{n-1}\lt0.01

?

What is the smallest positive integer

n

such that

\sqrt n-\sqrt{n-1}\lt0.01?

2499

2500

2501

10{,}000

No existe tal entero.

There is no such integer.

Racionaliza

\sqrt n-\sqrt{n-1}

Rationalize

\sqrt n-\sqrt{n-1}

Compara el denominador resultante con

100

cerca de

n=2500

Compare the resulting denominator with

100

near

n=2500

Al racionalizar se obtiene

\sqrt n-\sqrt{n-1} =\frac1{\sqrt n+\sqrt{n-1}}.

Para

n=2500,

el denominador es

50+\sqrt{2499}\lt100,

así que la diferencia es mayor que

0.01.

Para

n=2501,

el denominador es

\sqrt{2501}+50\gt100,

así que la diferencia es menor que

0.01.

El denominador aumenta con

n,

por lo cual

2501

es el menor entero que cumple la condición.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Rationalizing gives

\sqrt n-\sqrt{n-1} =\frac1{\sqrt n+\sqrt{n-1}}.

For

n=2500,

the denominator is

50+\sqrt{2499}\lt100,

so the difference exceeds

0.01.

For

n=2501,

the denominator is

\sqrt{2501}+50\gt100,

so the difference is less than

0.01.

The denominator increases with

n,

making

2501

the least such integer.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 18 en otros años