1978 AMC 12 Problema 20

Question

Si

a,

b,

c

son números reales no nulos tales que

\begin{aligned} \frac{a+b-c}{c} &=\frac{a-b+c}{b}\\ &=\frac{-a+b+c}{a}, \end{aligned}

y

x=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc},

y

x\lt0,

entonces

x

es igual a

If

a,

b,

c

are nonzero real numbers such that

\begin{aligned} \frac{a+b-c}{c} &=\frac{a-b+c}{b}\\ &=\frac{-a+b+c}{a}, \end{aligned}

and

x=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc},

and

x\lt0,

then

x

equals

-1

-2

-4

-6

-8

Respuesta: A

Conceptos:sistema de ecuaciones análisis por casos simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Iguala las tres fracciones a

t

y compara por pares las ecuaciones resultantes

Set the three equal fractions to

t

and compare pairs of the resulting equations

Pista grande:

La comparación obliga a que

a=b=c

o

a+b+c=0

; usa el signo de

x

The comparison forces either

a=b=c

or

a+b+c=0

; use the sign of

x

Solución:

Sea

t

el valor común. Las dos primeras ecuaciones resultantes implican

(b-c)(t+2)=0,

y las comparaciones cíclicas dan las relaciones análogas. Por lo tanto, o bien

a=b=c,

lo que da

x=8,

o bien

t=-2.

En el segundo caso,

a+b=-c,

b+c=-a,

y

c+a=-b,

de modo que

x=\frac{(-c)(-a)(-b)}{abc}=-1.

La condición

x\lt0

selecciona este último valor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the common value be

t.

The first two resulting equations imply

(b-c)(t+2)=0,

and cyclic comparisons give the analogous relations. Thus either

a=b=c,

which gives

x=8,

or

t=-2.

In the latter case

a+b=-c,

b+c=-a,

and

c+a=-b,

so

x=\frac{(-c)(-a)(-b)}{abc}=-1.

The condition

x\lt0

selects the latter value.

Therefore, the correct answer is A.