1992 AMC 12 Problema 25

Question

En el triángulo

ABC,

\angle ABC=120^\circ,

AB=3,

y

BC=4.

Si las perpendiculares a

\overline{AB}

por

A

y a

\overline{BC}

por

C

se cortan en

D,

entonces

CD=

In triangle

ABC,

\angle ABC=120^\circ,

AB=3,

and

BC=4.

If perpendiculars constructed to

\overline{AB}

at

A

and to

\overline{BC}

at

C

meet at

D,

then

CD=

3

\frac8{\sqrt3}

5

\frac{11}{2}

\frac{10}{\sqrt3}

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica perpendicular lines distance

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Coloca

B=(0,0)

y

A=(3,0)

Place

B=(0,0)

and

A=(3,0)

Pista grande:

Usa el ángulo de

120^\circ

para ubicar

C,

y luego parametriza la recta que pasa por

C

y es perpendicular a

BC

Use the

120^\circ

angle to locate

C,

then parametrize the line through

C

perpendicular to

BC

Solución:

Sean

B=(0,0)

y

A=(3,0).

Entonces

\begin{aligned} C&=4(\cos120^\circ,\sin120^\circ)\\ &=(-2,2\sqrt3). \end{aligned}

La perpendicular a

AB

por

A

es

x=3.

Un vector perpendicular a

BC=(-2,2\sqrt3)

es

(\sqrt3,1),

así que la otra perpendicular es

C+t(\sqrt3,1).

Su coordenada

x

es

3

cuando

t=\frac{5}{\sqrt3}.

Como

|(\sqrt3,1)|=2,

CD=2t=\frac{10}{\sqrt3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Set

B=(0,0)

and

A=(3,0).

Then

\begin{aligned} C&=4(\cos120^\circ,\sin120^\circ)\\ &=(-2,2\sqrt3). \end{aligned}

The perpendicular to

AB

at

A

is

x=3.

A vector perpendicular to

BC=(-2,2\sqrt3)

is

(\sqrt3,1),

so the other perpendicular is

C+t(\sqrt3,1).

Its

x

-coordinate is

3

when

t=\frac{5}{\sqrt3}.

Since

|(\sqrt3,1)|=2,

CD=2t=\frac{10}{\sqrt3}.

Thus the correct answer is E.