1996 AMC 12 Problema 17

Question

En el rectángulo

ABCD,

el ángulo

C

está trisecado por

\overline{CF}

y

\overline{CE},

donde

E

está en

\overline{AB},

F

está en

\overline{AD},

BE=6,

y

AF=2.

¿Cuál de los siguientes números es el más cercano al área del rectángulo

ABCD

?

In rectangle

ABCD,

angle

C

is trisected by

\overline{CF}

and

\overline{CE},

where

E

is on

\overline{AB},

F

is on

\overline{AD},

BE=6,

and

AF=2.

Which of the following is closest to the area of the rectangle

ABCD?

110

120

130

140

150

Respuesta: E

Conceptos:trigonometría rectangle area

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Cada uno de los tres ángulos en

C

mide

30^\circ

Each of the three angles at

C

is

30^\circ

Pista grande:

Usa los dos triángulos rectángulos adyacentes a los lados

CB

y

CD

para determinar la altura y el ancho del rectángulo

Use the two right triangles adjacent to sides

CB

and

CD

to determine the rectangle’s height and width

Solución:

Sean

w

y

h

el ancho y la altura del rectángulo. En el triángulo rectángulo

CBE,

\tan30^\circ=\frac{BE}{CB}=\frac{6}{h},

así que

h=6\sqrt3.

En el triángulo formado por

C,F,D,

el desplazamiento horizontal es

w

y el descenso vertical es

h-2,

por lo que

\tan60^\circ=\frac{w}{h-2}.

Así,

w=\sqrt3(6\sqrt3-2)=18-2\sqrt3.

El área es

6\sqrt3(18-2\sqrt3)

=108\sqrt3-36\approx151.1,

cuyo valor más cercano es

150.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the rectangle have width

w

and height

h.

In right triangle

CBE,

\tan30^\circ=\frac{BE}{CB}=\frac{6}{h},

so

h=6\sqrt3.

In the triangle using

C,F,D,

the horizontal run is

w

and the vertical drop is

h-2,

so

\tan60^\circ=\frac{w}{h-2}.

Hence

w=\sqrt3(6\sqrt3-2)=18-2\sqrt3.

The area is

6\sqrt3(18-2\sqrt3)

=108\sqrt3-36\approx151.1,

closest to

150.

Thus the correct answer is E.