1996 AMC 12 Problema 18

Question

Un círculo de radio

2

tiene centro en

(2,0).

Un círculo de radio

1

tiene centro en

(5,0).

Una recta es tangente a los dos círculos en puntos del primer cuadrante. ¿Cuál de los siguientes números es el más cercano al intercepto con el eje

y

de la recta?

A circle of radius

2

has center at

(2,0).

A circle of radius

1

has center at

(5,0).

A line is tangent to the two circles at points in the first quadrant. Which of the following is closest to the

y

-intercept of the line?

\frac{\sqrt2}{4}

\frac{\sqrt8}{3}

1+\sqrt3

2\sqrt2

3

Escribe la tangente como

y=mx+b

y usa la distancia de cada centro a la recta

Write the tangent as

y=mx+b

and use point-to-line distance for each center

Resta las dos ecuaciones de distancia para determinar la pendiente antes de hallar el intercepto

Subtract the two distance equations to determine the slope before solving for the intercept

Escribe la tangente común superior como

mx-y+b=0

y sea

s=\sqrt{m^2+1}.

Las dos distancias de los centros a la recta dan

2m+b=2s,\qquad 5m+b=s.

Por tanto,

3m=-s,

así que

9m^2=m^2+1

y

m=-\frac{1}{\sqrt8}.

De la segunda ecuación,

\begin{aligned} b&=s-5m\\ &=\frac3{\sqrt8}+\frac5{\sqrt8}=2\sqrt2. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write the upper common tangent as

mx-y+b=0

and let

s=\sqrt{m^2+1}.

The two center-to-line distances give

2m+b=2s,\qquad 5m+b=s.

Thus

3m=-s,

so

9m^2=m^2+1

and

m=-\frac{1}{\sqrt8}.

From the second equation,

\begin{aligned} b&=s-5m\\ &=\frac3{\sqrt8}+\frac5{\sqrt8}=2\sqrt2. \end{aligned}

Therefore the correct answer is D.

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