1997 AMC 12 Problema 20

Question

¿Cuál de los siguientes enteros puede expresarse como la suma de

100

enteros positivos consecutivos?

Which one of the following integers can be expressed as the sum of

100

consecutive positive integers?

1{,}627{,}384{,}950

2{,}345{,}678{,}910

3{,}579{,}111{,}300

4{,}692{,}581{,}470

5{,}815{,}937{,}260

Escribe los términos como

a+1,a+2,\ldots,a+100

Write the terms as

a+1,a+2,\ldots,a+100

Su suma debe ser congruente con

50

módulo

100

Their sum must be congruent to

50

modulo

100

La suma es

100a+(1+\cdots+100)

=100a+5050,

así que termina en

50.

Solo

1,627,384,950

tiene esa propiedad, y produce el entero positivo

a=\frac{1,627,384,950-5050}{100}.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The sum is

100a+(1+\cdots+100)

=100a+5050,

so it ends in

50.

Only

1,627,384,950

has that property, and it gives the positive integer

a=\frac{1,627,384,950-5050}{100}.

Thus A is correct.

El Problema 20 en otros años