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1976 AMC 12 第 17 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

17.

若

\theta

是锐角，且

\sin2\theta=a

，则

\sin\theta+\cos\theta

等于

If

\theta

is an acute angle and

\sin2\theta=a,

then

\sin\theta+\cos\theta

equals

\sqrt{a+1}

(\sqrt2-1)a+1

\sqrt{a+1}-\sqrt{a^2-a}

\sqrt{a+1}+\sqrt{a^2-a}

\sqrt{a+1}+a^2-a

答案：A

知识点：三角恒等式三角学根式

难度评级：1530

小提示：

将

\sin\theta+\cos\theta

平方

Square the expression

\sin\theta+\cos\theta

大提示：

使用

2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta

，并注意所求和为正

Use

2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta

and the fact that the desired sum is positive

解答：

有

\begin{aligned} (\sin\theta+\cos\theta)^2 &=\sin^2\theta+\cos^2\theta\\ &\quad+2\sin\theta\cos\theta\\ &=1+a \end{aligned}\text{。}

当

\theta

为锐角时，正弦和余弦都为正，所以所求和为

\sqrt{a+1}

。

所以正确答案是 A。

We have

\begin{aligned} (\sin\theta+\cos\theta)^2 &=\sin^2\theta+\cos^2\theta\\ &\quad+2\sin\theta\cos\theta\\ &=1+a. \end{aligned}

Both sine and cosine are positive for acute

\theta,

so the sum is

\sqrt{a+1}.

Therefore, the correct answer is A.

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