1977 AMC 12 第 8 题

Question

对每个非零实数三元组

(a,b,c)

，构造数

\frac a{|a|}+\frac b{|b|}+\frac c{|c|}+\frac{abc}{|abc|}\text{。}

所有可能得到的数所组成的集合是

For every triple

(a,b,c)

of nonzero real numbers, form the number

\frac a{|a|}+\frac b{|b|}+\frac c{|c|}+\frac{abc}{|abc|}.

The set of all numbers formed is

\{0\}

\{-4,0,4\}

\{-4,-2,0,2,4\}

\{-4,-2,2,4\}

以上均不正确

none of these

前三个分数中的每一个都等于

1

或

-1

Each of the first three fractions is either

1

or

-1

最后一个分数的符号是前三个符号的乘积

The sign of the final fraction is the product of the first three signs

设

r

、

s

、

t\in\{-1,1\}

分别为

a

、

b

、

c

的符号，则该式为

r+s+t+rst

。三个符号全为正时，式子的值为

4

；全为负时，值为

-4

。若正负号混合，直接相消可得

0

。因此所求集合为

\{-4,0,4\}

。

因此，正确答案是 B。

Let

r,

s,

t\in\{-1,1\}

be the signs of

a,

b,

c.

The expression is

r+s+t+rst.

If all three signs are positive it is

4,

and if all are negative it is

-4.

If the signs are mixed, direct cancellation gives

0.

Hence the set is

\{-4,0,4\}.

Therefore, the correct answer is B.

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