1977 AMC 12 Problema 8

Question

Para cada terna

(a,b,c)

de números reales no nulos, se forma el número

\frac a{|a|}+\frac b{|b|}+\frac c{|c|}+\frac{abc}{|abc|}.

El conjunto de todos los números que se pueden formar es

For every triple

(a,b,c)

of nonzero real numbers, form the number

\frac a{|a|}+\frac b{|b|}+\frac c{|c|}+\frac{abc}{|abc|}.

The set of all numbers formed is

\{0\}

\{-4,0,4\}

\{-4,-2,0,2,4\}

\{-4,-2,2,4\}

ninguna de las anteriores

none of these

Cada una de las tres primeras fracciones es

1

o

-1

Each of the first three fractions is either

1

or

-1

El signo de la última fracción es el producto de los tres primeros signos

The sign of the final fraction is the product of the first three signs

Sean

r,

s,

t\in\{-1,1\}

los signos de

a,

b,

c.

La expresión es

r+s+t+rst.

Si los tres signos son positivos, vale

4,

y si todos son negativos, vale

-4.

Si hay signos distintos, la cancelación directa da

0.

Por lo tanto, el conjunto es

\{-4,0,4\}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

r,

s,

t\in\{-1,1\}

be the signs of

a,

b,

c.

The expression is

r+s+t+rst.

If all three signs are positive it is

4,

and if all are negative it is

-4.

If the signs are mixed, direct cancellation gives

0.

Hence the set is

\{-4,0,4\}.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 8 en otros años