1980 AMC 12 第 8 题

Question

有多少对非零实数

(a,b)

满足方程

\frac1a+\frac1b=\frac1{a+b}\text{？}

How many pairs

(a,b)

of nonzero real numbers satisfy the equation

\frac1a+\frac1b=\frac1{a+b}?

没有

none

1

2

每个

b\ne0

对应一对

one pair for each

b\ne0

每个

b\ne0

对应两对

two pairs for each

b\ne0

答案：A

知识点：分式方程二次方程

难度评级：1590

小提示：

在注意

a

、

b

和

a+b

均不为零的前提下消去分母

Clear the denominators, noting that

a,

b,

and

a+b

must be nonzero

大提示：

把所得齐次二次方程看作关于比值

\frac{a}{b}

的方程

Treat the resulting homogeneous quadratic as an equation in the ratio

\frac{a}{b}

解答：

消去分母可得

(a+b)^2=ab\text{，}

即

a^2+ab+b^2=0

。因为

b\ne0

，令

t=\frac{a}{b}

。于是

t^2+t+1=0

，其判别式为

1-4=-3

。因此没有实数对满足条件。

因此，正确答案是 A。

Clearing denominators gives

(a+b)^2=ab,

or

a^2+ab+b^2=0.

Since

b\ne0,

let

t=\frac{a}{b}.

Then

t^2+t+1=0,

whose discriminant is

1-4=-3.

Thus there are no real pairs.

Therefore, the correct answer is A.

1980 AMC 12 第 8 题

答案：A

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

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