1980 AMC 12 Problema 8

Question

¿Cuántos pares

(a,b)

de números reales no nulos satisfacen la ecuación

\frac1a+\frac1b=\frac1{a+b}?

How many pairs

(a,b)

of nonzero real numbers satisfy the equation

\frac1a+\frac1b=\frac1{a+b}?

ninguno

none

1

2

un par para cada

b\ne0

one pair for each

b\ne0

dos pares para cada

b\ne0

two pairs for each

b\ne0

Elimina los denominadores, teniendo en cuenta que

a,

b,

y

a+b

deben ser no nulos

Clear the denominators, noting that

a,

b,

and

a+b

must be nonzero

Considera la cuadrática homogénea resultante como una ecuación en la razón

\frac{a}{b}

Treat the resulting homogeneous quadratic as an equation in the ratio

\frac{a}{b}

Al eliminar los denominadores se obtiene

(a+b)^2=ab,

o bien

a^2+ab+b^2=0.

Como

b\ne0,

sea

t=\frac{a}{b}.

Entonces

t^2+t+1=0,

cuyo discriminante es

1-4=-3.

Por lo tanto, no hay pares reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Clearing denominators gives

(a+b)^2=ab,

or

a^2+ab+b^2=0.

Since

b\ne0,

let

t=\frac{a}{b}.

Then

t^2+t+1=0,

whose discriminant is

1-4=-3.

Thus there are no real pairs.

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 8 en otros años