1981 AMC 12 第 27 题

Question

在附图中，三角形

ABC

内接于一个圆。点

D

位于

\overset{\frown}{AC}

上，且

\overset{\frown}{DC}=30^\circ

；点

G

位于

\overset{\frown}{BA}

上，且

\overset{\frown}{BG}\gt\overset{\frown}{GA}

。边

AB

和

AC

的长度都等于弦

DG

的长度，并且

\angle CAB=30^\circ

。弦

DG

与边

AC

和

AB

分别相交于

E

和

F

。

\triangle AFE

的面积与

\triangle ABC

的面积之比为

In the adjoining figure triangle

ABC

is inscribed in a circle. Point

D

lies on

\overset{\frown}{AC}

with

\overset{\frown}{DC}=30^\circ,

and point

G

lies on

\overset{\frown}{BA}

with

\overset{\frown}{BG}\gt\overset{\frown}{GA}.

Side

AB

and side

AC

each have length equal to the length of chord

DG,

and

\angle CAB=30^\circ.

Chord

DG

intersects sides

AC

and

AB

at

E

and

F,

respectively. The ratio of the area of

\triangle AFE

to the area of

\triangle ABC

is

\frac{2-\sqrt3}{3}

\frac{2\sqrt3-3}{3}

7\sqrt3-12

3\sqrt3-5

\frac{9-5\sqrt3}{3}

答案：C

知识点：弧弦面积比

难度评级：2260

小提示：

利用等弦找出相应的等弧和等腰三角形

Use equal chords to identify the relevant equal arcs and isosceles triangles

大提示：

令

AB=AC=DG=1

，求

AE

时利用一个

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

三角形

Normalize

AB=AC=DG=1

and find

AE

from a

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

triangle

解答：

缩放使

AB=AC=DG=1

。等弦对应的弧相等，由此可知三角形

DEC

是

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

三角形，并且

AE=DE

。令

AE=DE=x

。则

CE=1-x=\frac{2x}{\sqrt3}

，所以

x=2\sqrt3-3

。等弦还给出

AF=FG=EF=\frac{1-x}{2}

。因此

\begin{aligned} \frac{[AFE]}{[ABC]} &=\frac{x(1-x)}2\\ &=7\sqrt3-12 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 C。

Scale so

AB=AC=DG=1.

The equal-chord arc relations show that triangle

DEC

is

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

and

AE=DE.

Put

AE=DE=x.

Then

CE=1-x=\frac{2x}{\sqrt3},

so

x=2\sqrt3-3.

Equal chords also give

AF=FG=EF=\frac{1-x}{2}.

Hence

\begin{aligned} \frac{[AFE]}{[ABC]} &=\frac{x(1-x)}2\\ &=7\sqrt3-12. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.

1981 AMC 12 第 27 题

答案：C

难度评级：2260

小提示：

大提示：

解答：

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