1982 AMC 12 第 8 题

Question

按定义，

r!=r(r-1)\cdots1

，且

\binom jk=\frac{j!}{k!(j-k)!}

，其中

r

、

j

、

k

为正整数且

k\lt j

。若

\binom n1

、

\binom n2

、

\binom n3

构成等差数列，且

n\gt3

，则

n

等于

By definition

r!=r(r-1)\cdots1

and

\binom jk=\frac{j!}{k!(j-k)!},

where

r,

j,

k

are positive integers and

k\lt j.

If

\binom n1,

\binom n2,

\binom n3

form an arithmetic progression with

n\gt3,

then

n

equals

5

7

9

11

12

答案：B

知识点：阶乘组合等差数列二次方程

难度评级：1730

小提示：

等差数列的中项是相邻两项的平均数

The middle term of an arithmetic progression is the average of its neighbors

大提示：

将阶乘公式代入

2\binom n2=\binom n1+\binom n3

Substitute the factorial formulas into

2\binom n2=\binom n1+\binom n3

解答：

等差条件为

2\binom n2=\binom n1+\binom n3

。代入并约分得到

n^2-9n+14=0

，即

(n-2)(n-7)=0

。因为

n\gt3

，所以

n=7

。

所以正确答案是 B。

The progression condition is

2\binom n2=\binom n1+\binom n3.

Substitution and cancellation give

n^2-9n+14=0,

or

(n-2)(n-7)=0.

Since

n\gt3,

n=7.

Therefore, the correct answer is B.

1982 AMC 12 第 8 题

答案：B

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

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