1951 AMC 12 Problema 22

Question

Los valores de

a

en la ecuación

\log_{10}(a^2-15a)=2

son:

The values of

a

in the equation

\log_{10}(a^2-15a)=2

are:

\dfrac{15\pm\sqrt{233}}{2}

20,

-5

\dfrac{15\pm\sqrt{305}}{2}

\pm20

Ninguna de las anteriores

None of these

Convierte la ecuación logarítmica a forma exponencial

Convert the logarithmic equation to exponential form

Resuelve

a^2-15a=100

Solve

a^2-15a=100

La ecuación equivale a

a^2-15a=10^2=100,

por lo que

\begin{aligned} &a^2-15a-100\\ &\quad=(a-20)(a+5)\\ &\quad=0. \end{aligned}

Tanto

a=20

como

a=-5

hacen que el argumento del logaritmo sea

100,

así que ambos son válidos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The equation is equivalent to

a^2-15a=10^2=100,

so

\begin{aligned} &a^2-15a-100\\ &\quad=(a-20)(a+5)\\ &\quad=0. \end{aligned}

Both

a=20

and

a=-5

make the logarithm’s argument

100,

so both are valid.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 22 en otros años